by Sabba S. STEFANESCU1 and MISAC N.
NABIGHIAN2
1Romanian National Committee of Geodesy and Geophysics, Bucharest
2Newmont Exploration Limited, Tucson, Arizona, USA
L'article étudie les lignes de champs magnétique déterminées
par deux courants électriques d'égale intensité, situés
dans des positions quelconques l'un par rapport à l'autre.
On suppose les courants placés parallèlement au plan y=
0 d'un système cartésien Oxyz (fig. 1= Ils rencontrent
l'axe oy aux distances b et -b de l'origine et leurs directions
déterminent avec
Ox des angles 
et
- .
Si l'on pose 
=
cos ,
=
sin ,
les composantes du champ magnétique
ont pour expression
,
,
.
Les équations différentielles des lignes H
admettent l'intégrale première algébrique
(11)
où C désigne une constante arbitraire.
Les surfaces intégrales algébriques, du quatrième ordre,
définies par l'équation (11) sont réglées. Les équation
d'une génératrice rectiligne sont
, 
,
où les paramètres m et n sont liés par la relation
, 
m et n peuvent être exprimés en fonction d'un seul paramètre
au moyen des relations
,
, (
= ±1, 
= ±1)
, 
.
Si l'on choisit comme variables indépendantes le paramètre 
et
la distance e S du point (x, y, z) au plan x = 0, mesurée sur la
génératrice rectiligne qui passe par ce point, – on est
conduit à une équation différentielle en et S à variables
séparées. La solution de cette équation est donnée
par l'intégrale elliptique
laquelle est réductible aux intégrales de Iere et IIe espèces
de Legendre.
Les lignes H sont donc des hélices à pas constant sur les génératrices
rectilignes des surfaces algébriques (11).
Trois cas peuvent être distingués, suivant les valeurs de la constante
d'intégration C.
a) C > s. Les surfaces intégrales (11) ont deux nappes distinctes.
Les lignes H entourent chacune un seul des courants électriques (fig.
3).
b) C = s. La surface intégrales correspondante admet l'axe oz comme
ligne H singulière. Les lignes H ont une seule spire – ouverte – et
sont tangentes à l'infini à l'axe oz, lequel est un cycle limite
(fig. 4).
c) C< s. Les surfaces (11) ont une seule nappe. Les lignes H entourent à la
fois deux courants (fig. 5).
Key words: H lines, differential equations, algebraic first integrals, ruled
surface, Legendre elliptical integral